calla4 (UikiTeXi＠さくら)

$X$ を $\mathbb{K}$ 上の有限次元ベクトル空間、 $V$ をその部分空間とし、かつ $V \ne X$ とする。 $(v_{1}, \cdots ,v_{r})$ を $V$ の基底とし、かつ $V$ に属さない元 $x \in X$ を取る。このとき $\{x, v_{1}, \cdots ,v_{r}\}$ は一次独立である。このことを証明せよ。

$\{x, v_{1}, \cdots ,v_{r}\}$ が一次従属であると仮定すると、全てが 0 ではないスカラーの列 $a_{0}, a_{1}, \cdots , a_{r} \in \mathbb{K}$ が存在し、次の式を満たす。

$a_{0} x + \sum_{i=1}^{r} a_{i} v_{i} = 0$

ここでもし $a_{0} = 0$ だとすると $\sum_{i=1}^{r} a_{i} v_{i} = 0$ となってしまい、 $(v_{1}, \cdots ,v_{r})$ が $V$ の基底である（したがって一次独立である）ことに反するため、 $a_{0} \ne 0$ である。そこで、上式を $a_{0}$ で割って整理すると、

$x = \sum_{i=1}^{r} \frac{- a_{i}}{a_{0}} v_{i}$

となる。 $x$ が $V$ の基底ベクトルの線形結合で表現されることは $x \in V$ を意味し、条件に反する。

よって、 $\{x, v_{1}, \cdots ,v_{r}\}$ は一次独立である。

2008-01-24: Web で公開されている「解答と講評」には具体的な解答例が示されていなかったため、自分で書いてみた。これで大丈夫じゃないかとは思うんだけど……。

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